Système anti-symétrique augmenté pour les équations Shallow-Water avec tension de surface

1. Le défi de la capillarité dans le modèle d'eau peu profonde

Intégrer la tension de surface au modèle classique d'eau peu profonde introduit des dérivées spatiales d'ordre élevé et des non-linéarités qui déstabilisent les schémas numériques usuels. L'objectif de ce travail n'était pas de proposer une nouvelle théorie, mais de comprendre en profondeur l'article de Bresch et al. (2020) et de tester la mise en œuvre numérique de leur formulation augmentée : l'introduction d'une variable auxiliaire qui reformule l'énergie capillaire sous une forme cinétique équivalente, conduisant à un système possédant une structure anti-symétrique (skew-symmetric) — propriété clé pour garantir, par construction, la conservation de l'énergie discrète même en présence de forts gradients de densité.

2. Décomposition temporelle IMEX et discrétisation spatiale

La résolution repose sur un schéma IMplicite-EXplicite (IMEX) : la dynamique hyperbolique du système est traitée explicitement (étape peu coûteuse mais soumise à une condition de stabilité de type CFL), tandis que le terme capillaire, responsable de la raideur du système, est intégré implicitement pour lever cette contrainte de stabilité restrictive.

L'étape hyperbolique explicite est discrétisée en espace par un schéma de volumes finis avec flux de Rusanov, sur un maillage décalé respectant la dualité discrète des opérateurs divergence et gradient — une exigence structurelle pour préserver, au niveau discret, les propriétés de stabilité énergétique démontrées au niveau continu.

3. Résolution directe vs. GMRES, et sensibilité au maillage

Pour le cas linéarisé, l'opérateur capillaire implicite est résolu par substitution directe, puis comparé à une résolution itérative par la méthode GMRES, mettant en évidence l'arbitrage classique entre coût de calcul et robustesse selon la taille du système. Pour le cas non linéaire, une étude de convergence spatiale (maillages de 100, 200 et 500 points comparés à une solution de référence à 1000 points) confirme la nécessité d'une discrétisation fine pour capturer sans amortissement numérique excessif les oscillations de haute fréquence caractéristiques du régime capillaire.

La formulation augmentée s'est révélée être un outil efficace pour transformer un système initialement rigide en une structure mieux adaptée aux schémas IMEX : l'introduction de la variable auxiliaire préserve certaines propriétés d'énergie et limite les instabilités liées aux gradients abrupts de hauteur d'eau.